Integración definida.
Sumatorias.
Con los conocimientos matemáticos de la geometría euclidiana se puede determinar el área encerrada por una figura plana como un polígono y áreas de regiones circulares, sin embargo, aún queda el problema de determinar el área limitada por una curva. Con la ayuda del cálculo se puede dar solución a esta cuestión.
En primer lugar, se introduce la notación de sumatoria o notación sigma (esto por el uso de la letra griega sigma mayúscula).
Notación sigma
La suma de \(n\) términos consecutivos \(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n\) se escribe como,$$\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$$ donde \(i\) es llamado índice de suma, tal que \(i\le n, \ a_i\) es el í-ésimo término de la suma y los límites inferiores y superiores de la suma son \(1\) y \(n\) respectivamente. Ver el apartado Ejecicios I Ej.1
El operado sigma posee algunas propiedades muy importantes las cuales ya han sido demostradas en el pasado por figuras prominentes. La aplicación de estas propiedades permite ahorrar tiempo y esfuerzo al realizar las operaciones, algunas de ellas se presentan a continuación.Propiedades de la notación sigma.
Sean \(c,~k.~m, \) y \(n \in \mathbb{R}\) cualquiera, donde \(c\) es distinta de cero, entonces las siguientes expresiones son válidas.
Propiedades operacionales: sean \(c,k\) y \(n \in\mathbb{R}\) cualquiera, donde \(c\neq0\) y \(k\le n,\) entonces se tiene
\begin{align}
&1.\ \sum_{i=1}^{n}c=cn\\
&2.\ \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\\
&3.\ \sum_{i=k}^{n}i^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\\
&4.\ \sum_{i=k}^{n}i^3=\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\\
&5.\ \sum_{i=k}^{n}{ca_i}=c\sum_{i=k}^{n}a_i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Multiplo\ constante.}\\
&6.\ \sum_{i=k}^{n}\left(a_i\pm b_i\right)=\sum_{i=k}^{n}a_i\pm\sum_{i=k}^{n}b_i\ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Linealidad}\end{align}
Propiedades de corrimientos: son propiedades las cuales sirven para ajustar los indices de las sumas según las necesidades operacionales.
\begin{align}
&1.\ \sum_{i=a}^{n}{f(i)}= \sum_{i=0}^{n-a}{f(i+a)}\\
&2.\ \sum_{n=0}^{p}{f(n)}=\sum_{n=0}^{c}{f(n)}+\sum_{n=c+1}^{p}{f(n)}\\
&3.\sum_{n=0}^{p}\sum_{m=0}^{q}{f(n,m)}= \sum_{m=0}^{q}\sum_{n=0}^{p}{f(n,m)}\\
&4.\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}\ \ {\rm si} \ \left|z\right|< 1\\
&5. \sum_{n=k}^{\infty}a_n=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n-a_0-a_1-a_2\ \cdots\ -a_{k-1}}\end{align}
Para más contenidos y luego clic en la pestaña del contenido deseado.
Sumas de Riemann
Sumas de Riemann
Sea \(f\) una función continua y no negativa en el intervalo \(\left[a,\ b\right]\). El área de la región limitada por la gráfica de \(f\), el eje \(x\) y las rectas \(x=a\) y \(x=b\) está dada por, $$A=\lim_{n\to\infty}{\sum_{i=1}^{n}f(c_i)∆x_i}\ \ \ \ {\rm donde~ ~} x_{i-1}≤c_i≤x_i$$ para $$~~∆x=\frac{b-a}n ; c_i=a+i∆x \ \ \ {\rm ó}~~ a+(i-1)∆x$$
Para más contenidos y luego clic en la pestaña del contenido deseado.
Integración definida
Con los conocimientos matemáticos de la geometría euclidiana es posible determinar el área encerrada por una figura plana como un polígono y áreas de regiones circulares, sin embargo, aún queda el problema de determinar el área limitada por una curva. Con la ayuda del cálculo se puede dar solución a esta cuestión. Para comenzar el análisis de la integración definida se deben recordar dos aspectos importantes sobre la continuidad de una función:
1. De la definición de continuidad en un intervalo cerrado se tiene que una función \(f\) es continua en un intervalo cerrado \(\left[a,b\right]\) si lo es en el intervalo abierto \(\left(a,b\right)\) y además $$\lim_{x\to a^+}{f\left(x\right)}=f\left(a\right) {~~~\rm y}~~ \lim_{x\to b^-}{f\left(x\right)}=f\left(b\right)$$
2. Continuidad implica derivabilidad, y dado que la diferenciación y la integración son operaciones inversas, se puede inferir que si una función es derivable debe ser integrable.
Definición de integral definida.
Sea \(f\) una función continua en un intervalo cerrado \(\left[a,b\right]\) donde \(a< b\) y además \(f\) es integrable en \([a,b]\) la integral definida en ese intervalo se escribe: $$\lim_{||∆x||\to0}{\sum_{i=1}^{n}{f\left(c_i\right)∆x_i}}=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$$ El siguiente teorema conocido como el primer teorema fundamental del cálculo proporciona la manera en la cual se ha de evaluar este límite de la definición de integral definida.
Ejemplo. Cambio de orden. Determinar el valor de la integral definida $$I=\int_{4}^{2}{(7x^5+12})dx$$ Solución: \begin{align} &I=-\int_{2}^{4}{(7x^5+12})dx=-\int_{2}^{4}{7x^5}dx-12\int_{2}^{4}dx\\ &I=\left.-7\frac{x^6}{6}-12x\right]_2^4=-\frac{7}{6}\left(4\right)^6-12\left(4\right)-\left(-\frac{7}{6}\left(2\right)^6-12\left(2\right)\right)\\ &I=-4728\end{align}